拒否する・拒絶するという意味での「断る」です。
申し出・招待・提案・要求などに対して、それを受け入れないという直接的で明確な拒絶を意味します。
「~が理由でできない」というよりかは「嫌だ」など何らかの感情的なニュアンスを含意し、 時に失礼な態度を示す場合もあります。
turn down に比べると、やや堅い語になります。
example
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I don't know whether to accept or refuse.
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私は受けてよいのか断るのがよいのか分からない。